Способы описания конечных автоматов. Определение конечных автоматов Рис.2.5

ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. Табличный способ

2. Графический способ задания автомата

Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все элементы множества S = {A, X, Y, d , l } , т.е. необходимо описать входной, выходной алфавиты и алфавит состояний, а также функции переходов d и выходов l . При этом среди множества A = {a 0 ,a 1 ,…, a n } необходимо выделить начальное состояния a0, в котором автомат находится в момент времени t = 0. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используются табличный и графический.

1. Табличный способ

При этом способе автомат Мили описывается двумя таблицами: таблицей переходов и таблицей выходов.

Таблица переходов

x j \a j
	d (a 0 ,x 1)		d (a n ,x 1)
x m	d (a 0 ,x m)		d (a n ,x m )

Таблица выходов

x j \a j
	l (a 0 ,x 1)		l (a n ,x 1)
x m	l (a 0 ,x m)		l (a n ,x m )

Строки этих таблиц соответствуют входным сигналам x (t ), а столбцы – состояниям. На пересечении столбца a i и строки x j в таблице переходов ставится состояние a s = d [ a i ,x j ], в которое автомат перейдет из состояния a i под воздействием сигнала x j ; а в таблице выходов – соответствующий этому переходу выходной сигнал y g = l [ a i ,x j ].

Совмещенная таблица переходов и выходов автомата Мили:

x j \a i
	d (a 0 ,x 1)/ l (a 0 ,x 1)		d (a n ,x 1)/ l (a n ,x 1)
x m	d (a 0 ,x m)/ l (a 0 ,x m)		d (a n ,x m )/ l (a n ,x m )

Задание таблиц переходов и выходов полностью описывает работу конечного автомата, поскольку задаются не только сами функции переходов и выходов, но и также все три алфавита: входной, выходной и алфавит состояний.

Для задания автомата Мура требуется одна таблица, поскольку в этом автомате выходной сигнал однозначно определяется состоянием автомата.

Отмеченная таблица переходов автомата Мура :

y g	l (a 0)		l (a n)
x j \a c
	d (a 0 ,x 1)		d (a n ,x 1)
x m	d (a 0 ,x m)		d (a n ,x m )

Автомат Мили

x j \a i
	a 1 /y 1	a 2 /y 3	А 3 /y 2	a 0 /y 1
	a 0 /y 2	a 0 /y 1	A 3 /y 1	a 2 /y 3

Автомат Мура

x j \x j

В этой таблице каждому столбцу приписан, кроме состояния a i , еще и выходной сигнал y (t ) = l (a (t )), соответствующий этому состоянию. Таблица переходов автомата Мура называется отмеченной потому, что каждое состояние отмечено выходным сигналом.

Приведем примеры табличного задания автоматов Мили и Мура :

По этим таблицам можно найти реакцию автомата на любое входное слово. Например.

Для автомата Мили:Для автомата Мура :

x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 …x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 …

a 0 a 1 a 0 a 0 a 0 a 1 a 0 a 2 a 4 a 1 a 4

y 1 y 1 y 2 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2 y 1 y 2

2. Графический способ задания автомата (задание автомата с помощью графа)

Этот способ основан на использовании ориентированных связных графов. Вершины графов соответствуют состояниям автомата, а дуги – переходам между ними. Две вершины графа a i и a s соединяются дугой, направленной от a i к a s , если в автомате имеется переход из a i в a s , т.е. a s =d (a i , x j ). В автомате Мили дуга отмечается входным сигналом x j , вызвавшим переход, и выходным сигналом y g , который возникает при переходе. Внутри кружочка, обозначающего вершину графа, записывается состояние. Например, для автомата Мили, приведенного выше, граф имеет вид а), а для автомата Мура вид б).

Представление конечного автомата фактически сводится к описанию задающих его автоматных функций.

Существуют три способа задания конечных автоматов:

· Табличный (матрицы переходов и выходов);

· Графический (с помощью графов);

· Аналитический (с помощью формул).

Аналитический способ – автомат задаетсясистемой уравнений. Из такой системы следует, что при конечном числе возможных внутренних состояний количество возможных значений автоматных функций также оказывается конечным. Примером такого задания служат системы уравнений, задающие автоматы Мили и автоматы Мура

Табличный способ. Составляется таблица состояния автоматадля функции перехода – δ и функции выхода. При этом:

· столбцы таблицы соответствуют элементам входного алфавита X,

· строки таблицы соответствуют состояни­ям (элементы конечного множества Q).

Пересечению i-и строки и j-го столбца соответствует клетка (i, j), которая является аргументом функций 8 и λ автомата в момент, когда он находится в состоя­нии q i на его входе – слово x j , а в самой соответствующей клетке запишем значения функций 8 и λ. Таким образом, вся таблица соответствует множеству Q х X.

При заполнении таблицы переходов каждая клеточка однознач­но определяется парой символов: символом следующего состоя­ния и символом выходного сигнала.

На практике автоматные функции задаются двумя конечными таблицами, именуемыми соответственно матрицей перехода и матрицей выводов . При этом строки обозначаются буквами входного алфавита, а столбцы буквами внутреннего алфавита (символами, кодирующими внутреннее состояние автомата).

В матрице переходов на пересечении строки x k и столбца q r помещается значение функции перехода δ(q i , х) и функции выводов λ(q, х) . В ряде случаев обе таблицы объединяются в одну таблицу.

Графический способ.

Автомат задается с помощью графа, схемы, графика и др. Задание с помощью ориентированного гра­фа – более удобная и компактная форма описания автомата.

Граф автомата содержит

· Вершины, соответствующие состоянию q i ÎQ,

· Дуги, соединяющие вершины – переходы автомата из одного состояния в другое. На дугах принято указывать пары вход­ных и выходных сигналов – сигналов переходов.

Если автомат переходит из состояния q 1 в состояние q 2 под воз­действием нескольких входных сигналов, то на соответствующей дуге графа этот вариант будет представлен через дизъюнкцию. Для представления автомата используют двухполюсные графы с выде­ленными начальным и конечным состояниями.

Разработка шкалы «прибора для измерения емкости»

№	индикация	+	-	перегруз.	выкл.	┤
0	исх.сост.	1	0	0	0	нет
1	0	2	0	13	0	да
2	50	3	1	13	0	да
3	100	4	2	13	0	да
4	150	5	3	13	0	да
5	200	6	4	13	0	да
6	250	7	5	13	0	да
7	300	8	6	13	0	да
8	350	9	7	13	0	да
9	400	10	8	13	0	да
10	450	11	9	13	0	да
11	500	13	10	13	0	да
12	ОВ	0	0	0	0	нет
13	авария	0	0	0	0	нет

Рис.2.5. Граф шкалы прибора для измерения емкости

Заключение

Поскольку применение генераторов с колебательными контурами (типа RC) для генерирования колебаний высокой частоты не удовлетворяет, для разрабатываемого генератора была взята схема типа LC (в качестве фазирующей цепочки взята трехточечная схема с автотрансформаторной связью, активный элемент - транзистор).

В теоретической части данной курсовой работы были рассмотрены элементы генераторов LC-типа. Также была рассмотрена классификация генераторов LC-типа, их назначение, а также различные схемы генераторов. А также технические характеристики элементов генераторов.

В практической части была раскрыта тема, касающаяся шифраторов, дешифраторов, их назначения, а также были спроектированы электрические функциональные и электрические принципиальные схемы шифраторов и дешифраторов. Была раскрыта тема карт Карно. Также был разработан сегмент “b” семисегментного индикатора. Был разработан конечный автомат для шкалы прибора для измерения емкости, а также граф для него.

Элементы теории автоматов

План:

1. Понятие автомата, принцип работы автомата

2. Способы задания конечных автоматов

3. Общие задачи теории автоматов

Теоретические сведения

Человек всегда стремился к тому, что бы облегчить свой труд, заставляя работать на себя некоторые механические устройства без собственного вмешательства. Вначале это были сказки, затем они стали превращаться в обыденные вещи. Автомобиль, телевизор, стиральные машины, целые производства работают без участия человека. Причем, вмешательство человека в большинстве случаев не требуется, а в ряде случаев, такое вмешательство может привести к негативным явлениям. Понятие «автомат», как некоторое устройство, выполняющее определенный вид действий давно трактуется людьми именно так.

Понятие автомата, принцип работы автомата

Понятие автомат рассматривается в двух аспектах:

1. Автомат – устройство , выполняющее некоторые функции без непосредственно участия человека. Автомат это реальное устройство, понятное, почему и как оно работает, хотя бы для тех людей, которые его сконструировали и изготовили. Автомобиль, трактор, самолет, светофор, телевизор, телефон – все это автоматы. В этом аспекте ЭВМ следует понимать как автомат, который работает по программе, составленной человеком.

2. Автомат – математическое понятие , обозначающее математическую модель реальных технических устройств. Автомат это абстрактное устройство, непонятно почему и как оно работает и, вообще, почему оно может работать. В этом аспекте автомат есть «черный ящик», который теоретически способен проводить некоторые действия. С точки зрения математики, абсолютно неважно что, как и почему производит те или иные действия.

Любой автомат должен иметь некоторое количество входов, некоторое количество выходов и некоторое количество внутренних состояний.

Алгебраическая теория автоматов является разделом теоретической кибернетики, который изучает дискретные автоматы с абстрактной алгебраической точки зрения.

Общая теория автоматов содержит различные подразделы. В зависимости от предмета изучения она делится на абстрактную теорию автоматов и структурную теорию автоматов.

Абстрактная теория автоматов изучает переходы, совершаемые автоматом, на который воздействуют входные сигналы, а также выходные сигналы как результат этих переходов.

Предметом изучения структурной теории автоматов является структура автомата, а также структура входных и выходных сигналов, например, способы кодирования входных и выходных сигналов и др.

Определение конечных автоматов

Автомат - абстрактная модель устройства, функционирующего в дискретном времени, которая перерабатывает конечную последовательность входных сигналов и превращает их в конечную последовательность выходных сигналов (реакций).

В процессе работы конечного автомата происходит последовательная смена конечного число его внутренних состояний, причем состояние автомата в определенный момент времени однозначно определяется входным и выходным сигналами. Такие автоматы представляют собой основу всей современной вычислительной техники и всевозможных дискретных систем автоматического контроля и управления.

Понятие автомата настолько абстрактное, что трудно сказать, когда человек вообще обходился без каких либо автоматов. Под определение автомата подходят любые устройства, в том чис­ле те, которыми первобытные люди охотились или метали кам­ни, защищая свое жилище от неприятеля.

Алгоритм – понятное и точное формальное предписание исполнителю, однозначно определяющее содержание и последовательность операций, переводящих заданную совокупность исходных данных в искомый результат

Считается, что первым программным устройством, созданным человеком, были часы. Часовые механизмы с помощью пружины, приводящей в действие шестеренки и кулачковые механизмы, зубчатые колеса и рычаги, осуществляют ряд определенных действий. Примером такого часового механизма могут быть знаменитые часы на Центральном театре кукол в Москве, где он приводит в действие двенадцать сказочных героев, расположенных на циферблате.

Укажем несколько любопытных исторических фактов, связанных с автоматами, как механическими устройствами.

1. Немецкий философ и алхимик Альберт Великий с 1216 по 1246 г., создавал «железного» слугу - автомат, который выполнял в доме обязанности привратника.

2. Астроном Иоганн Мюллер (Региамонтан) (1436-1476) создал механического орла, который приветствовал наклоном головы и движением крыльев въезд в Нюрнберг императора священной Римской империи Максимилиана II.

3. Механик Жак де Вакансон (1709-1782) – автор первого в мире автоматического ткацкого станка. Он создал образ механической утки, точной копии своего живого двойника - плавала, чистила перья, глотала с ладони зерна. Его механический флейтист, исполнявший одиннадцать музыкальных пьес, поражал людей, живших в те далекие годы.

4. Русский изобретатель 19 в. А. М. Гамулецкий создал целый механический кабинет, в котором было множество сконструированных им автоматов. Здесь в том числе была и говорящая голова чародея и амур, играющий на арфе, которые поражали воображение современников.

5. Первый примитивный арифмометр сконструировал в 1641 г. Блез Паскаль. Толчком для открытия были мучения его отца – налогового, инспектора, который днями и ночами работал с большими вычислениями. Изобретя арифмометр, восемнадцати летний сын избавил отца от сложных вычислений, а миру подарил первый калькулятор, производящий сложение и вычитание чисел.

6. Первый шахматный автомат был построен в 1890 г. испанским инженером Торресом Кеведо. Такой автомат мог разыграть лишь ладейный эндшпиль (король и ладья против короля).

7. Первую вычислительную машину с автоматическим управлением создал Чарльз Баббедж в 1822 г. Он спроектировал арифмометр , который имел запоминающие и арифметические устройства. Эти устройства стали прототипами аналогичных устройств современным ЭВМ.

Виды автоматов.

Автомат можно трактовать как устройство, выполняющие процессы приема, преобразования и передачи энергии, материалов или информации в соответствии с заложенной в них программой, но без непосредственного участия человека.

Любой автомат имеет собственные базовые множества, которые включают в себя:алфавит входа, алфавит выхода, множество состояний автомата.

Характерной особенностью конечного автомата является наличие памяти, которая определяет состояние автомата в зависимости от времени. Внешним проявлением различных состояний автомата является его реакция на однотипные воздействия (сигналы).

В работе конечных цифровых автоматов важным понятием является время.

Автоматы можно классифицировать по различным признакам.

1. По виду деятельности - автоматы делятся на: информационные, управляющие и вычислительные.

К информационным автоматам относятся разнообразные справочные таблицы, информационные табло на стадионах, устройства аварийной сигнализации.

К управляющим автоматам принято относить устройства для управления некоторым процессом, в том числе конкретно: лифтом, конвейером, станком, шлагбаумом.

К вычислительным автоматам относятся микрокалькуляторы, процессоры в ЭВМ и иные устройства, выполняющие вычисления.

Однако, строго говоря, многие, автоматы представляют собой настолько сложные системы, что они являются одновременно и вычислительными, и управляющими, и информационными автоматами.

2. Конечные автоматы – с точки зренияинформатики это такие автоматы, которые представляют собой дискретные преобразователи информации. К ним относятся преобразователи, в которых содержится конечное множество входных и конечное выходных сигналов, а также конечное множество внутренних состояний

3. Цифровые автоматы - автоматы, которые преобразует цифровую информацию. В таком автомате входные сигналы задаются в виде конечного множества мгновенных символов: их длительность настолько мала, что ею можно пренебречь. За фиксированное время происходит преобразование входных символов, а на выходе происходит скачкообразный переход из одного состояния в другое состояние.

4. Абстрактные автоматы - отображающие множество слов входного алфавита Х во множество слов выходного алфавита Y.

Абстрактный автомат есть:

~ Математическая модель,

~ Алгоритм действия некоторого преобразования кодовых последовательностей,

~ Закон преобразования входного алфавита в выходной.

5. Синхронные и асинхронные автоматы . В зависимости от того, одновременно или последовательно принимаются входной сигнал и сигнал смены состояний, автоматы делятся насинхронные и асинхронные автоматы.

В синхронных автоматах продолжительность входных сигналов и время переходов согласовано между собой. Они используются в вычислительных комплексах, АСУ и т.д.

В асинхронных автоматах продолжительность входных сигналов и время переходов не согласовано между собой. Они зависят от внешних источников - различных событий, а интервал дискретности является переменным (например, в кодовых замках). В асинхронных автоматах очередное изменение значений входных сигналов может произойти только при условии, что закончился переходный процесс, вызванный предыдущим изменением этих сигналов.

6. Автоматы делятся на конечные и бесконечные автоматы. Если в основании классификации лежит объем памяти, то различие заключается в том, имеет ли автомат конечное или бесконечное число внутренних состояний.

Под бесконечным автоматом обычно понимают определенную математическую идеализацию представлений об автомате, имеющую бесконечное число состояний. Память такого автомата потенциально может неограниченно возрастать. Например, известные абстрактные автоматы Поста и Тьюринга являются бесконечными автоматами, но сама ЭВМ или ее отдельные части - конечными автоматами.

7. Автоматы делятся на детерминированные и вероятностные автоматы . Если в основании классификации лежит механизм случайного выбора, то различают детерминированные и вероятностные (стохастические) автоматы.

В детерминированных автоматах поведение и структура в каждый момент времени однозначно определены текущей входной информацией и состоянием самого автомата в предшествующий момент времени.

В вероятностных автоматах эта зависимость связана еще и с некоторым случайным выбором.

Вероятностный автомат - это дискретный преобразователь информации, функционирование которого в каждый момент времени зависит только от состояний памяти и описывается статистическими законами.

8. Универсальный автомат. В теории автоматов доказано, что для выполнения различных преобразований информации достаточно построить универсальный автомат с помощью программы и соответствующего кодирования, способный решать любые задачи.

Математическая модель цифрового автомата с одним входом задается пятью объектами:

X- конечное множество входных символов, входной алфавит:

Х= {x 1 (t), x 2 (t), …, x n (t)};

Y- конечное множество выходных символов, выходной алфавит:

У={y 1 (t), y 2 (t), …, y n (t)};

Q ~ конечное множество состояний автомата:

Q= {q 0 (t), q 1 (t), q 2 (t), …, q n (t)}, q 0 - начальное состояние;

δ(q, х ) - функция перехода автомата из одного состояния в другое: (Q х X) ®Q;

λ(q, х ) ~ функция выхода автомата: (Q x Х) ® Y.

Таким образом, конечный автомат С= (X, Q, У, δ, λ.) определяется рекуррентными соотношениями

q(0) = q 0 , q(t + I) = δ (g(t), х(t)), y(t) = λ (g(t), х(t)),

t- дискретизированный момент времен или это есть образ монотонной функции t :. Т ® N, причем Т - обычное непрерывное время, N - множество натуральных чисел.

Все время работы Т разбивается на конечное число интервалов, на границе которых происходит изменение состояния автомата. При этом t(Г 0) – показывает число изменений, произошедших до момента времени Г 0 .

Примером дискретизации служит обычный кинематограф: время разбито на интервалы длительностью 1/24с. Человеческий глаз воспринимает следование дискретных кадров как непрерывное движение.

9. Синхронные автоматы делятся на автоматы Мили и автоматы Мура . В зависимости от способа организации функции выхода синхронные автоматы делятся на автоматы Мили (автоматы I рода) и автоматы Мура(автоматы II рода).

В автоматах Мили - выходной сигнал y (t) x (t) и состоянием q (t- 1) автомата в предшествующий момент времени (t- 1). Математической моделью таких автоматов служит система уравнений:

q(t) = δ (q(t-1), х(t)) и y(t) = λ (q(t-1), х(t)),

В автоматах Мура выходной сигнал y (t) однозначно определяется входным сигналом x (t) и состоянием q (t) в данный момент времени t. Математической моделью таких автоматов является система:

q(t) = δ (q(t-1), х(t)) и y(t) = λ (q(t)),

В таких автоматах функция выхода зависит только от состояний автомата в данный момент времени и не зависит от входного сигнала. Таким образом, входная строка такого автомата однократно считывается слева направо, осуществляя поочередный просмотр символов. В определенный момент времени конечный автомат находится в некотором внутреннем состоянии, которое изменяется после считывания очередного символа. Новое состояние можно охарактеризовать считанным символом и текущим состоянием.

10. Комбинационные автоматы – есть автоматы, в которых выходной символ не зависит от его состояния и определяется лишь текущими входными символами, т.е. в этом автомате все состояния эквивалентны. В таком автомате вырождена функция перехода, она принципиально не важна и в процессе функционирования неизменна. Поэтому минимальный комбинационный автомат имеет лишь одно состояние.

11 Логические автоматы – есть автоматы у которых входной алфавит состоит из 2 т двоичных наборов длины т, а выходной - из 2 n двоичных наборов длины п. Для логических комбинационных автоматов функция выхода имеет вид системы п логических функций от т переменных.

Теория автоматов представляет собой раздел дискретной математики, изучающий модели преобразователей дискретной информации. Такими преобразователями являются как реальные устройства (компьютеры, живые организмы), так и воображаемые устройства (аксиоматические теории, математические машины). По сути конечный автомат можно охарактеризовать как устройство М , имеющее входной и выходной каналы при этом в каждый из дискретных моментов времени, называемых тактовыми моментами, оно находится в одном из конечных состояний.

По входному каналу в каждый момент времени t =1, 2, ... в устройство М поступают входные сигналы (из некоторого конечного множества сигналов). Задается закон изменения состояния к следующему моменту времени в зависимости от входного сигнала и состояния устройства в текущий момент времени. Выходной сигнал зависит от состояния и входного сигнала в текущий момент времени (рис. 1).

Конечный автомат является математической моделью реальных дискретных устройств по переработке информации.

Конечным автоматом называется система А= (X , Q , Y ,  ,  ), где X , Q , Y - произвольные непустые конечные множества, а  и   функции, из которых:

множество X ={a 1 , ..., a m } называется входным алфавитом , а его элементы - входными сигналами , их последовательности - входными словами ;

множество Q ={q 1 , ..., q n } называется множеством состояний автомата, а его элементы - состояниями ;

множество Y ={b 1 , ..., b p } называется выходным алфавитом , его элементы - выходными сигналами , их последовательности - выходными словами ;

функция  : X Q Q называется функцией переходов ;

функция  :X Q Y называется функцией выходов .

Таким образом,  (x , q )Q ,  (x , q )Y для x X , q Q .

С конечным автоматом ассоциируется воображаемое устройство, ко­торое работает следующим образом. Оно может находиться в состоянии из множества Q , воспринимать сигналы из множества X и выдавать сигналы из множества Y .

2. Способы задания конечного автомата

Существует несколько эквивалентных способов задания абстрактных автоматов, среди которых можно назвать три: табличный , геометрический и функциональный .

2.1.Табличное задание автомата

Из определения автомата следует, что его всегда можно задать табли­цей с двумя входами, содержащей т строк и п столбцов, где на пересечении столбца q и строки а стоят значения функций  (a i , q j ),  (a i , q j ).

q a	q 1		q j		q n
a 1	(a 1 , q 1),  (a 1 , q 1)		(a 1 , q j ),  (a 1 , q j )		(a 1 , q n ),  (a 1 , q n )
a i	(a i , q 1),  (a i , q 1)		(a i , q j ),  (a i , q j )		(a i , q n ),  (a i , q n )
a m	(a m , q 1),  (a m , q 1)		(a m , q j ),  (a m , q j )		(a m , q n ),  (a m , q n )

2.2. Задание автомата диаграммой Мура

Другой способ задания конечного автомата - графический, то есть с помощью графа. Автомат изображается в виде помеченного ориентированного графа Г (Q , D ) с множеством вершин Q и множеством дуг D ={(q j ,  (a i , q j ))| q j Q , a i X }, при этом дуга (q j ,  (a i , q j )) помечается парой (a i ,  (a i , q j )). Таким образом, при этом способе состояния автомата изображают кружками, в которые вписывают символы состояний q j (j = 1, …, n ). Из каждого кружка проводится т стрелок (ориентированных ребер) взаимно-однозначно соответствующих символам входного алфавита X ={a 1 , ..., a m }. Стрелке, соответствующей букве a i X и выходящей из кружка q j Q , приписывается пара (a i ,  (a i , q j )), причем эта стрелка ведет в кружок, соответствующий  (a i , q j ).

Полученный рисунок называется графом автомата или, диаграммой Мура . Для не очень сложных автоматов этот способ более нагляден, чем табличный.

Баранов Виктор Павлович. Дискретная математика. Раздел 6. Конечные автоматы и формальные языки.

Лекция 31. Определение и способы задания конечного автомата. Задача синтеза. Элементарные автом а ты

Лекция 30. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА.

ЗАДАЧА СИНТЕЗА. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АВТОМАТЫ

План лекции:

1. Определение конечного автомата.

2. Способы задания конечного автомата.

1. Задача синтеза автоматов.
2. Элементарные автоматы.
3. Задача о полноте автоматного базиса.
4. Канонический метод синтеза автомата.

1. Определение конечного автомата

СФЭ не учитывают тот факт, что реальные устройства работают во времени. По сравнению с СФЭ конечный автомат является более точной моделью дискретного прео б разователя информации. При этом понятие конечного автомата, как и любая модель, св я зано с рядом упрощающих предположений.

Во-первых, предполагается, что вход и выход автомата в каждый момент времени может находиться только в одном из конечного числа различных состояний. Если реал ь ный преобразователь имеет непрерывный входной сигнал, то для его описания с помощью конечного автомата необходимо провести квантование этого сигнала. В формальном определении автомата конечный набор состояний входа и выхода автомата называется соо т ветственно входным и выходным алфавитом , а отдельные состояния – буквами этих алф а витов.

Во-вторых, предполагается, что время изменяется дискретно. Состояния входа и выхода соответствуют дискретной временной последовательности Поскол ь ку момент времени однозначно определяется его индексом, то с целью упрощения будем считать, что время принимает значения 1, 2, …, … Временной промежуток называется тактом .

Работа автомата представляется следующим образом.

На вход автомата поступают сигналы из входного алфавита, что приводит к появлению сигналов на выходе из входного алфавита. З а висимость выходной последовательности от входной зависит от внутреннего устройства автомата. Заметим, что в отличие от СФЭ, которые не обладают памятью, автомат пре д ставляет собой устройство с памятью, т. е. выход автомата определяется не тол ь ко входом, но и предысторией. Учет предыстории осуществл я ется зависимостью выходного сигнала не только от входа, но и от текущего состояния, которое обозначим.

Дадим формальное определение автомата.

Конечным автоматом называют пятерку объектов

, (1)

где

входным алфавитом ; – одно из возможных состояний входа;

– конечное множество, называемое выходным алфавитом ; элеме н ты этого множества определяют возможные состояния выхода;

– конечное множество, называемое алфавитом внутренних состо я ний ;

– функция переходов автомата: ; эта функция каждой паре «вход-состояние» ставит в соответствие состояние;

– функция выходов автомата: ; эта функция каждой паре «вход-состояние» ставит в соответствие значение выхода.

Закон функционирования автомата: автомат изменяет свои состояния в соотве т ствии с функцией и вырабатывает выходные сигналы в соответствии с фун к цией:

1. Способы задания конечного автомата

1  . Табличный способ задания. Поскольку для функций и области определ е ния и значений принадлежат конечному множеству, то их задают при помощи таблиц.

Пример 1. Зададим автомат следующим образом: , .Функцию определим с помощью таблицы переходов, а функцию – с помощью таблицы выходов .

Таблица 1. Таблица переходов Таблица 2. Таблица выходов

Вход	Состояние

Вход	Состояние

Если известна последовательность сигналов на входе автомата, то таблицами пер е ходов и выходов однозначно определяется выходная последовательность.

2  . Графический способ задания. Используется диаграмма переходов-выходов. Она представляет собой ориентированный мультиграф, в котором каждому вну т реннему состоянию автомата соответствует вершина. Переходы автомата из состояния в состояние изображаются стрелками, на каждой из которых пишутся входной символ, в ы зывающий данный переход, и выходной символ, вырабатываемый автоматом.

| | |

Рис.1 Диаграмма переходов-выходов

Пример 2. Требуется построить автомат, который работал бы следующим обр а зом: в каждый такт на вход автомата поступают очередные двоичные разряды слагаемых, а в томат вырабатывает соответствующий двоичный разряд их суммы. Для двухра з рядных слагаемых имеем: , .

Автомат находится в состоянии 1, если при сложении предыдущих разрядов возн и кает перенос, и в состоянии 0 – в противном случае. Диаграмма переходов-выходов пок а зана на рис. 2.

00|0 11|1 01|0

01|1 10|0

10|1 00|1 11|1

Рис. 2

1. Задача синтеза автоматов

По аналогии с задачей синтеза СФЭ можно поставить задачу синтеза для автом а тов. Имеется неограниченный набор базисных автоматов. Требуется собрать автомат с наперед заданным функционированием. При этом задача синтеза сталкивае т ся с определенными проблемами.

Допустим, что нужно присоединить выход автомата к входу автомата. Это возможно при условии, так как иначе вт о рой автомат не поймет сигналы, поступающие с первого. Это приводит к запутанной с и туации, когда некоторые соединения невозможны.

Чтобы преодолеть это препятствие, вводится понятие структурного автомата, в к о тором все алфавиты (входной, выходной и внутренних состояний) кодируются двоичными словами.

Пусть – конечное множество из элементов, а – множ е ство двоичных слов длины, где. Произвольное инъективное отображение будем называть кодированием множества двоичными словами.

Произведем кодирование алфавитов для произвольного автомата:

Обозначим закодированные вход, выход и состояние автомата в момент времени соответственно. Тогда закон функционирования представится в виде

(2)

Полученный после кодирования автомат называют структурным . Будем считать, что структурный автомат имеет двоичных входов, двоичных выходов, а внутреннее состояние автомата задается двоичным словом длины. На рис. 3 показан абстрактный автомат и соответствующий ему структурный автомат.

… …

Рис. 3

Переход к структурному автомату обеспечивает два важных для синтеза преимущ е ства.

1  . Совместимость входов и выходов, так как через них передается двоичная и н формация. Мы не будем давать общее определение схемы из структурных автоматов – оно аналогично СФЭ.

2  . Запишем соотношения (2) в «координатах»:

(3)

Из (3) следует, что закон функционирования структурного автомата задается с и стемой булевых функций .

1. Элементарные автоматы

Выделим простейшие структурные автоматы и дадим им название.

Отметим сначала, что функциональный элемент, имеющий только одно состояние, можно рассматривать как автомат без памяти.

Перейдем к автоматам с двумя состояниями. Пусть автомат имеет один двоичный вход и один двоичный выход, совпадающий с внутренним состоянием: :

Рис. 4.

Для задания автомата, показанного на рис. 4, достаточно задать только таблицу п е реходов:

Таблица 3

Вход	Состояние

Вместо звездочек нужно поставить 0 и 1. Это можно сделать 16 способами, однако, не все они приемлемы. Допустим, например, что в первом столбце таблицы 3 оба элеме н ты нули. Такой автомат, оказавшись в состоянии 0, более из него не выйдет, то есть будет работать как функциональный элемент. Анализ аналогичный ситуаций показывает, что для того чтобы получился автомат, не сводящийся к автомату без памяти, надо потреб о вать, чтобы в каждом столбце таблицы 3 встречались и ноль и единица. Таких таблиц вс е го ч е тыре.

Таблица 4 Таблица 5

Вход	Состояние
					Вход	Состояние

Таблица 6 Таблица 7

Вход	Состояние

Вход	Состояние

Имеем только два простейших автомата, так как 7 получается из 4, а 6 из 5 путем инверсии внутренних состояний.

Автомат, задаваемый таблицей 4, называется задержкой или -триггером :

то есть этот автомат задерживает сигнал на один такт.

Автомат, задаваемый таблицей 5, называется триггером со счетным входом или -триггером . Состояние автомата меняется на противоположное, если на вход поступает 1, и остается без изменения, если на вход поступает 0:

Пусть в начальный момент времени - триггер находится в состоянии 0. Если в н е который момент времени - триггер находится в состоянии 0, то это означает, что на вход автомата поступило четное число единиц. Если в состоянии 1, то – нечетное. Таким обр а зом, - триггер считает количество единиц на входе, но так как он имеет всего два состо я ния, то и считает до двух.

При физической реализации триггеров используют два выхода: прямой и инвер с ный (рис. 5). Если поменять их местами, то из - триггера получится автомат, задаваемый таблицей 7, а из - триггера – автомат, задаваемый таблицей 6.

Рис. 5.

1. Задача о полноте автоматного базиса

Набор структурных автоматов называется полным (или автоматным б а зисом), если из них можно построить любой наперед заданный структурный автомат.

Усилия математиков для получения аналога теоремы Поста для автоматов не уве н чались успехом. В 1964 г. М.И. Кратко доказал несуществование алгоритма для определ е ния полноты системы. В этом случае представляют интерес варианты теоремы о полноте с дополнительными предположениями о системе. Рассмотрим наиболее популярный из них.

Теорема. Система автоматов, содержащая полный набор ФЭ и - триггер (или -триггер) является полной.

Доказательство. Рассмотрим произвольный автомат, заданный соотнош е ниями (2), и опишем его схему из указанных автоматов, называемую канонической структурой (рис. 6) .

Схема состоит из двух частей.

…

…

…

Рис. 6.

Левая половина называется запоминающей частью. Она состоит из триггеров, набор состояний которых образует состояние автомата: если в момент времени

, …,

то это означает, что автомат находится в состоянии.

Правая половина называется комбинационной частью и представляет СФЭ. Входы этой схемы:

1. двоичное слово – входной сигнал автомата;
2. двоичное слово – текущее внутреннее состояние автомата.

Выходы:

1. двоичное слово – выходной сигнал автомата, который реализуе т ся по формулам (3);
2. двоичное слово, которое поступает на входы триггеров в запомин а ющей части и управляет памятью автомата.

Покажем, что сигналы управления памятью являются булевыми функциями от тех же переменных, что и выход автомата, а, значит, они могут быть реализованы полной с и стемой ФЭ.

В каждый момент времени сигналы управления памятью должны переводить а в томат из состояния в состояние. Для этого надо изменить состояние каждого триггера

, .

Используемые в канонической схеме -триггеры или -триггеры обладают сл е дующим свойством: для любой пары состояний существует входной сигнал, пер е водящий автомат из состояния в состояние. Обозначим этот сигнал через. Для -триггера, так как состояние, в которое устанавливается -триггер, равно входному сигналу. Для -триггера: при на вход надо п о дать 0, чтобы состояние не изменилось; при – 1, чтобы триггер «перевернулся».

Итак, или в векторной форме

Выразим из закона функционирования автомата (2). Тогда

Теорема доказана.

1. Канонический метод синтеза автомата

Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример. На конвейере, по которому двигаются детали двух типов и, устано в лен автомат, задачей которого является такая сортировка деталей, чтобы после прохожд е ния мимо автомата они образовывали группы. Неподходящую деталь автомат ста л кивает с конвейера. Требуется построить схему такого автомата, используя -триггер и элементы «И», «ИЛИ», «НЕ».

Синтез автомата разбивается на следующие этапы.

1  . Построение абстрактного автомата.

Входной алфавит – . Выходной алфавит – , где С – сталкив а ние детали, П – ее пропуск. Внутренние состояния автомата отражают его память о том, какую часть группы он уже сформировал: . По мере формирования группы автомат циклически перемещается по этим состояниям, не изменяя состояния при поступлении неподходящей детали. Диаграмма переходов-выходов показана на рис. 7.

| | |

Рис. 7.

2  . Кодирование алфавитов.

Один из возможных вариантов кодирования приведен в сл е дующих таблицах.

Вход Выход Состояние

3  . Построение канонической структуры автомата.

Каноническая структура разрабатываемого автомата показана на рис. 8.

Рис. 8.

Найдем зависимости выходов СФЭ, от переменных сначала в табличном виде (таблица 8), по к о торым далее построим формулы

, .

Таблица 8

Эти функции называются частично определенными , так как они не определены при. Для представления этих функций формулами их доопределяют таким образом, чтобы получить более простой вид формул.

4  . Представление функций выхода автомата и функций управления памятью фо р мулами.

Используя методы минимизации булевых функций, строим по возможности эк о номное представление функций, формулами в базисе:

5  . Реализация СФЭ и окончательная схема автомата (рис. 9).

Рис. 9.

СФЭ

СФЭ

НЕ

ИЛИ